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Parte 1: Modelos matemáticos, ¿qué son y para qué sirven?

Por Iván Martínez

En los últimos meses, y sobre todo al inicio de la contingencia que actualmente vivimos a causa del Covid-19, ha sido común escuchar y leer en diversos medios acerca del uso de modelos matemáticos para explicar y predecir la evolución de la epidemia. Conviene mencionar que varios de estos modelos parten de uno establecido alrededor de 1927, el cual se conoce como el modelo SIR (Susceptible, Infectado y Removido), desarrollado por dos científicos escoceses quienes, curiosamente, no eran matemáticos: el bioquímico William Ogilvy Kermack y el médico epidemiólogo Anderson Gray McKendrick. Como el anterior, existen muchos ejemplos que muestran cómo las matemáticas han interactuado con diversas áreas del conocimiento en la búsqueda de una explicación capaz de resolver problemas propios de su estudio.

Es usual encontrar problemas resueltos mediante modelación matemática en Física, Química, Biología, Medicina o Economía, ramas de la ciencia donde tradicionalmente se presenta una interacción con las ciencias matemáticas; sin embargo, podría sorprendernos el encontrar aplicaciones en áreas y problemas que supondríamos serían los últimos lugares dónde hallarlos.

Un claro ejemplo de esto último es el problema que deseamos abordar en este conjunto de tres publicaciones, el cual explica cómo los aborígenes de una tribu australiana decidían sus matrimonios a mediados del siglo pasado. Si bien, esta combinación de antropología social y matemáticas resulta por sí misma interesante, lo es aún más cuando detrás de esta interacción se involucra a dos figuras principales de sus disciplinas científicas de la segunda mitad del siglo XX, además de un prolífico científico que jamás existió.

Modelación matemática: explicación y predicción

El objetivo esencial de un modelo es representar una situación específica de la realidad. Se aplica en diversas áreas del conocimiento y emplea distintos elementos para su fundamentación. La modelación, derivada del latín modellus, ha permitido al hombre representar, interpretar e incluso manipular diversos fenómenos de su entorno. Para muchos antropólogos estas habilidades de establecer modelos abstractos son las que permitieron el desarrollo del homo sapiens sobre el resto de los homínidos.

En particular, en el método científico se presentan modelos como representaciones abstractas de situaciones reales. Ronald N. Giere se refiere [2] a los modelos científicos de la siguiente forma : “…los modelos son las entidades representacionales primarias de la ciencia. Afirmó que los científicos suelen usar modelos para representar los aspectos del mundo. Los tipos de modelos científicos incluyen modelos físicos a escala y representaciones diagramáticas, pero los modelos más interesantes son los modelos teóricos. Estos son objetos abstractos, entidades imaginarias cuya estructura podría o no ser similar a los aspectos de los objetos y procesos del mundo real.”

En particular, los modelos matemáticos traducen en un lenguaje matemático las creencias y elementos propios de un problema. Podemos entender entonces a la modelación matemática como un proceso que permite determinar y elegir características necesarias para describir un problema, el cual generalmente no tiene un origen matemático. Como se presenta en [3]:

“La modelación matemática es un tema sin límites en todos los sentidos imaginables. Dondequiera que se apliquen las matemáticas a otra ciencia o sector de la vida, el proceso de modelación entra de manera consciente o subconsciente”.

Un poco de historia

Algunos historiadores de las ciencias consideran que las primeras evidencias de modelación matemática se presentaron con la aparición de los números, como representación de conjuntos de cosas (alrededor del año 30,000 A.C.). Posteriormente, con el desarrollo de las comunidades y el estudio del cielo, se aplicaron conocimientos en problemas de Astronomía y Arquitectura (4,000 A.C.). El desarrollo de las primeras culturas vino acompañado de un desarrollo matemático relevante donde, por supuesto, se emplearon modelos para resolver problemas específicos. Sin embargo, se reconoce en la cultura griega a partir del origen y desarrollo de la matemática formal como ahora se conoce, un momento relevante de la historia donde se desarrolló de forma muy significativa el uso de elementos matemáticos para intentar explicar fenómenos de interpretación y resolución de problemas. Podemos mencionar los primeros trabajos de Tales de Mileto (600 A.C.) quien, haciendo uso de elementos de la geometría, (la cual fue la primera rama de las matemáticas donde se adquirió el carácter científico) permitió explicar, alrededor del año 585 A.C., diversos fenómenos físicos tales como medir alturas a partir de las sombras que se formaban o bien predecir un eclipse solar. Posterior a los trabajos de Tales aparecieron los estudios de Pitágoras y su escuela, quienes tenían la idea esencial de que todo lo que existe en nuestro universo puede ser explicado con números. Para los pitagóricos, la complejidad del mundo se puede sostener en ciertas bases para las cuales el ser, la forma y la acción de las cosas, tanto generales como particulares, son consecuencia natural. Conviene destacar también, por supuesto, el desarrollo de las demostraciones matemáticas y la fundamentación de la geometría a partir del trabajo de Euclides (300 AC) mediante su obra esencial Los Elementos. Desde el momento de su aparición hasta nuestras fechas, esta colección de libros ha sido muy útil para explicar y entender el comportamiento de la geometría y sus aplicaciones. En particular, Eratóstenes, valiéndose de algunos de los resultados presentados en estos textos, pudo calcular alrededor del año 250 AC las distancias entre la tierra y el sol, entre la tierra y la luna y la superficie aproximada de la tierra.

Con el desarrollo de las civilizaciones también se presentaron avances muy relevantes de las matemáticas y modelación en otras culturas. Podemos mencionar, por ejemplo, los resultados de Abu Abd-Allah ibn Musa Al-Hwarizmi (Siglo VIII d.C.), precursor de lo que posteriormente recibiría el nombre de álgebra, los cuales se emplearon en particular para resolver problemas relacionados con el comercio, topografía y riego. Otro personaje destacado para el desarrollo de las matemáticas, y su correspondiente aplicación en la modelación, fue Leonardo de Pisa (comúnmente conocido como Fibonacci). Su labor de mercader y viajero le permitió conocer de forma directa los avances matemáticos de las culturas árabe e hindú. Por ejemplo, introdujo en la cultura occidental el uso de los números arábigos, los cuales mostraron ser más adecuados que los números romanos, empleados en ese momento en una gran parte de Europa. Su trabajo estuvo dirigido en parte a estudiar propiedades de mediciones y conversiones. Por último, conviene resaltar el trabajo de Robert Grosseteste, clérigo, filósofo y científico inglés, considerado por muchos el primer científico moderno y precursor del método científico. La relevancia de su trabajo se debe al hecho de que, ocho siglos antes a los resultados de Edwin Hubble y George Gamow , logra describir un “modelo cosmológico en el cual el universo es creado en una explosión tipo big-bang y su condensación subsecuente”. En el artículo [1], publicado en el año 2014, se presenta una explicación del modelo de Grosseteste, trasladando su trabajo a un lenguaje matemático moderno, incluso empleando herramientas tecnológicas para su estudio.

¿Por qué emplear modelos matemáticos?

Hay diversas causas por las cuales resulta muy útil el uso de modelos matemáticos, entre las cuales podemos enunciar las siguientes:

  1. Las matemáticas constan de un lenguaje formal y preciso, muy adecuado para representar ideas y establecer afirmaciones.
  2. El lenguaje matemático tiene un reconocimiento universal, con reglas básicas para su aplicación.
  3. El desarrollo de las distintas áreas del conocimiento que componen a las ciencias matemáticas está bien sustentado y se encuentra disponible para su uso.
  4. El análisis de datos y los cálculos matemáticos se pueden realizar mediante el uso de computadoras.

Sin duda, el uso de herramientas matemáticas para explicar fenómenos de diversa índole ha crecido en los últimos años y en ocasiones es sorprendente encontrar soluciones que se explican por resultados matemáticos que, incluso, pudieron haberse obtenido muchos años antes de encontrarles un uso práctico.

Concluimos mencionando que el desarrollo del método científico y la importancia de la modelación matemática avanzaron de forma considerable durante los siglos posteriores, teniendo influencia en una cantidad, cada vez mayor, de ramas de la ciencia. Cuando Gregor Mendel empleó el método científico por primera ocasión para estudiar problemas de genética y biología en el año 1865, eran pocos los que estaban en condición de entender el proceso que empleó en sus estudios e incluso, hubo colegas que dudaban de la validez de su método para explicar la combinación genética y la existencia de genes dominantes; sin embargo, el método con el que realizó sus estudios ha demostrado su eficiencia, no solamente en la biología, sino en el resto de ciencias cuyos resultados han surgido bajo la luz del método propuesto por Mendel y sus contemporáneos.

Bibliografía

[1] Richard G. Bower, Tom C. B. McLeish, Brian K. Tanner, Hannah E. Smithson, Cecilia Panti, Neil Lewis and Giles E. M. Gasper, A Medieval Multiverse?: Mathematical Modelling of the 13th Century Universe of Robert Grosseteste, Proceedings of the Royal Society. (2014)

[2] R. N. Giere. Science without laws. Chicago, IL: University of Chicago Press (1999).

[3] Reinhard Illner, C. Sean Bohun, Samantha McCollum, and Thea van Roode Mathematical Modelling: A Case Studies Approach, Student Mathematical Library, vol. 27. (2005).

Parte 2: Lévi-Strauss y Bourbaki, representantes del estructuralismo francés

La antropología estructural: modelación en el estudio de las culturas

Claude Lévi-Strauss fue un filósofo y pensador nacido en 1908 en Bruselas, pero descendiente de una familia francesa, específicamente de la región de Alsacia. Su ascendencia judía sería determinante para definir sus intereses de estudio y el desarrollo de su trabajo al tener que emigrar durante la Segunda Guerra Mundial.

Inicialmente estudió la Licenciatura en Derecho y posteriormente se inclinó por el estudio de la Filosofía, obteniendo incluso el Doctorado de la Sorbona en 1948. Sin embargo, ambas disciplinas lo aburrieron. Por el contrario, desarrolló un amplio interés por la etnología, es decir, la ciencia social que se encarga de estudiar de forma sistemática y comparativa los diferentes pueblos y culturas del mundo antiguo y del mundo reciente. Su obra Tristes trópicos resulta ser un relato autobiográfico de su actividad intelectual, sustentada en gran medida por sus estudios de investigación y la gran cantidad de viajes que realizó alrededor del mundo para llevar a cabo tales estudios. En este texto, Lévi-Strauss hace referencia a tres pilares fundamentales en su formación, a quienes se refería como sus tres maestros más venerados: la geología, el psicoanálisis y el marxismo. Si bien, estos elementos podrían parecer a primera instancia, considerablemente distintos entre sí, parten de un elemento esencial para tratar de explicar sus objetos de estudio: las cosas constan de estructuras y es posible lograr entender e interpretar tales estructuras. Por supuesto, lo anterior no resulta siempre tan simple debido a que no es fácil abstraer los elementos básicos que explican su comportamiento; pudiendo incluso pasar inadvertidos, además de que en ocasiones los aspectos evidentes en un fenómeno resultan no serlo tanto. Textualmente, el autor establece la siguiente aseveración, refiriéndose a la geología, el psicoanálisis y el marxismo: “los tres demuestran que comprender consiste en reducir un tipo de realidad a otro; que la realidad verdadera no es nunca la más manifiesta; y que la naturaleza de lo verdadero ya se trasluce en el cuidado que pone en sustraerse” (Lévi-Strauss 1955). La geología nos muestra, por ejemplo, que bajo ese paisaje perceptible y observado es posible encontrar elementos inadvertidos pero esenciales: basta remover la tierra o analizar pequeños fragmentos de ella para rescatar información de eventos anteriores, tales como movimientos tectónicos o sucesos naturales entre otros, que explican su estado actual. Por otro lado, para el autor, el marxismo establecía: “que la ciencia social ya no se construye en el plano de los acontecimientos, así como tampoco la física se edifica sobre los datos de la sensibilidad: la finalidad es construir un modelo, estudiar sus propiedades y las diferentes maneras cómo reacciona en el laboratorio, para aplicar seguidamente esas observaciones a la interpretación de lo que ocurre empíricamente”. Finalmente, en el estudio del psicoanálisis está presente la aseveración de que, más allá de los aspectos racionales, existen elementos significantes que permiten explicar nuestro comportamiento.

Esta forma de análisis e investigación social se encuentra presente en la denominada antropología estructural desarrollada por Lévi-Strauss, a partir del cual se busca identificar patrones o elementos específicos que permitan explicar el comportamiento de grupos de individuos o comunidades. Para ello se parte de la idea de que, así como la lingüística se desarrolla a partir de elementos básicos y se rige por reglas bien establecidas para poder dotar a diversos elementos de un significado, el comportamiento de las culturas se puede explicar a partir de aspectos elementales combinadas con reglas esenciales de convivencia. El entendimiento de ambos elementos, según esta visión estructural del comportamiento de las personas en comunidad, nos permiten lograr comprender a las culturas y los individuos. Las aseveraciones establecidas en esta visión van más allá, al punto de establecer que esas unidades básicas presentes en el desarrollo cultural de los hombres están determinadas por cuestiones biológicas y genéticas más que por alguna justificación humana. De la siguiente forma exponía su propio método de investigación:

“Para merecer el nombre de estructura los modelos deben satisfacer exclusivamente cuatro condiciones. En primer lugar, una estructura presenta un carácter de sistema. Consiste en elementos tales que una modificación cualquiera en uno de ellos entraña una modificación en todos los demás. En segundo lugar, todo modelo pertenece a un grupo de transformaciones, cada una de las cuales corresponde a un modelo de la misma familia, de manera que el conjunto de estas transformaciones constituye un grupo de modelos. En tercer lugar, las propiedades antes indicadas permiten predecir de qué manera reaccionará el modelo, en caso de que uno de sus elementos se modifique. Finalmente, el modelo debe ser construido de tal manera que su funcionamiento pueda dar cuenta de todos los hechos observados”.

Por tanto, el método estructural se sustenta principalmente en el estudio de los elementos básicos de un sistema, identificando variables determinadas por características del sistema estudiado, por ejemplo, raza, religión, elementos artísticos, etc. Este estudio incluye, por supuesto, el identificar relaciones entre las variables implícitas en el fenómeno de estudio con la finalidad de obtener conclusiones y poder entender el funcionamiento del sistema en su conjunto. En conclusión, establecer modelos de funcionamiento.

Nicolás Bourbaki y el desarrollo de la matemática del siglo XX

Francia se ha distinguido por contar con grandes pensadores y científicos a lo largo de la historia y, por supuesto, la rama de las matemáticas no podía ser la excepción. El desarrollo de la ciencia no se podría explicar sin mencionar el trabajo de personajes como René Descartes, Blaise Pascal, Joseph-Luis Lagrange o Joseph Fourier, entre otros. El siglo XIX y los inicios del siglo XX fueron aún más fructíferos entre la comunidad matemática francesa, cuyos resultados contribuyeron al avance de diversas áreas en matemáticas, las cuales son muy importantes incluso en la actualidad. La tensión que se vivía en Europa en las primeras décadas del siglo XX y la Primera Guerra Mundial hicieron que se frenara su álgido desarrollo. Muchos de los más destacados profesores a quienes les correspondía continuar con el proceso natural de transferencia de las teorías recientes a las nuevas generaciones, murieron en la guerra o simplemente se alejaron a continuar su trabajo apartados del resto de la comunidad. Esto provocó que varios de los estudiantes franceses que estudiaron entre 1924 y 1933, crecieran sin esa figura paterna que los guiará en el aprendizaje de las nuevas teorías y desconocieran de los resultados más importantes desarrollados durante esta época.

Para el año de 1934, esos antiguos estudiantes se habían incorporado a la labor docente impartiendo clases en distintas universidades de Francia. André Weil y Henri Cartan, colegas de la Universidad de Estrasburgo, coincidirían en impartir la materia de Cálculo diferencial e integral y no tenían la intención de emplear el texto que tradicionalmente era usado para el curso en las universidades de aquella época. Más aún, eran cinco o seis los amigos y colegas que usualmente impartían el mismo curso en otras instituciones, lo cual llevó a Weil a sugerirle a Cartan lo siguiente: “reunámonos y arreglemos esto de una vez por todas”. Fue así como el 10 de diciembre de 1934 tuvo lugar la primera reunión de este grupo; sin saberlo aún, estos jóvenes estaban siendo testigos de la gestación de uno de los más importantes matemáticos de los próximos años: Nicolás Bourbaki, del cual pasarían a formar parte de su Asociación de Colaboradores.

El apellido Bourbaki se debió a una anécdota de los primeros años de escuela de tres de los integrantes del grupo, cuando un alumno de los últimos semestres, disfrazado con una prominente barba falsa y hablando con un acento sumamente extraño, presentó una conferencia peculiar, citando diversos problemas matemáticos incoherentes y sin sentido, concluyendo con un resultado al cual denominó el teorema de Bourbaki. Este alumno a su vez se inspiró en un soldado de ascendencia griega, llamado Charles Denis Sautier Bourbaki, quien combatió junto a Napoleón III durante varios años. El nombre de Nicolás fue sugerido posteriormente por quien años más tarde sería la esposa de Weil. Ya con el nombre correcto, desarrollaron toda una historia alrededor de este singular personaje, nacido en la ficticia ciudad de Poldavia. Para hacer aún más interesante su existencia, André Weil introdujo a este reconocido matemático mediante una carta con un miembro de la Academia de las Ciencias, buscando con ello su ingreso a la historia de las matemáticas:

Estoy seguro de que recordará que el señor Bourbaki es el antiguo profesor de la Universidad Real de Besse-en-Poldevie a quien conocí hace un tiempo en un café, donde pasa la mayor parte del día e incluso la noche tras haber perdido su trabajo y la mayor parte de su fortuna por los problemas que causaron que la desafortunada nación poldaviana desapareciera de Europa. Ahora se gana la vida en el café dando clases en belote, el juego de cartas que juega tan brillantemente”. (extraído de [3])

Lo que inició como un intento por elaborar un libro de texto fue creciendo cada vez más. Weil, quien desde el inicio fue uno de los fundadores más activos, compartió la necesidad de organizar congresos especializados donde se pudieran discutir los temas que se incluirían en los textos a desarrollar. El objetivo inicial de escribir temas básicos para el curso de Cálculo diferencial e integral sería modificado por uno mucho más ambicioso; como ellos mismos aseguraban, necesitaban construir una base suficientemente amplia y sólida para poder justificar la esencia de las matemáticas existentes y futuras. Había una regla básica que se estableció desde el inicio y que cumplieron cabalmente los integrantes de Bourbaki durante todo el tiempo de su existencia: ningún miembro podría tener una edad superior a 50 años. El prominente grupo de matemáticos, la mayoría de ellos franceses, permaneció activo durante al menos cuatro generaciones y cerca de 50 años, desarrollando una gran cantidad de libros y estableciendo las bases de una gran parte de la matemática de los años posteriores. Aunque en su momento no se sabía con certeza quiénes fueron sus integrantes, actualmente es del conocimiento de la comunidad científica cuáles son los nombres de quienes dieron vida a Nicolás Bourbaki y su trabajo. Sin duda, la contribución que este grupo y sus personajes han hecho a la matemática es muy relevante, como lo escribió el distinguido matemático Paul Halmos en 1957: “Su nombre es griego, su nacionalidad francesa y su historia es curiosa. Es uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX (…) Tiene fervientes partidarios y acérrimos detractores en cualquier grupo de matemáticos que se reúna. El hecho más extraño de él, sin embargo, es que no existe”.

Para concluir mencionaremos un dato curioso, de muchos que están documentados alrededor del grupo. En el año 1948, mientras Henri Cartan desayunaba, recibió una llamada de alguien de apellido Bourbaki quien solicitaba hablar con él. Al principio, Cartan pensó que era una broma e, incluso, insistió en preguntarle si acaso tenía una larga barba blanca. Este personaje era un diplomático de la embajada de Grecia en París, llamado Nicolaides Bourbaki, quien investigando el origen del apellido de su familia se enteró que un grupo de matemáticos habían decidido usar el nombre de un antepasado inexistente, curiosamente llamado igual que él para escribir libros en matemáticas y pedía una explicación. El genuino Nicolás Bourbaki conoció a los integrantes del grupo y, aclarada la situación, se hizo merecedor al nombramiento de miembro honorario, siendo invitado a partir de entonces a participar en las cenas de clausura de sus Congresos.

Referencias:

[1] Fernando Bombal, Nicolás Bourbaki: El Matemático que nunca existió. Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp) Vol. 105, Nº 1 (2011).

[2] Claude Lévi-Strauss, Claude,Tristes trópicos (1955).

[3] Marcus du Sautoy, La historia de Nicolas Bourbaki, el matemático que nunca, Serie de la BBC “Breve historia de Matemáticas” (2018).

Parte 3: Álgebra, estructuralismo y parentesco entre tribus

André Weil y Claude Lévi-Strauss tuvieron demasiadas cosas en común. Ambos eran de ascendencia francesa, específicamente de la región de Alsacia. El primero nació en 1906 mientras que el segundo lo hizo en el año 1908. Su origen judío los obligó a emigrar en el año 1941 hacia Nueva York para huir de la ocupación nazi. Más aún, ambos fueron muy longevos: Weil murió a los 92 años y Lévi-Strauss a punto de cumplir los 101 años. Además, son considerados figuras muy importantes de su época en sus respectivas áreas del conocimiento. Pero hay un elemento esencial en su trabajo que muestra que sus ideas, aunque correspondientes a áreas distintas, compartían analogías dignas de hacer mención.

Al momento de llegar a Nueva York, Lévi-Strauss conoció al lingüista y fonólogo ruso Roman Jakobson, quien antes de emigrar a Estados Unidos, también en 1941, había fundado los Círculos Literarios de Moscú y de Praga, donde junto con sus colaboradores contribuyó al desarrollo de las bases de la fonética moderna y del estructuralismo lingüístico. Esta interacción fue determinante en Lévi-Strauss para interesarse en buscar hacer con la etnología, mediante la antropología estructural, lo que Jakobson y su grupo habían logrado con la lingüística.

Por otra parte, la escuela Bourbaki tuvo desde sus orígenes una idea clara de cómo debía desarrollarse la Matemática (ellos se referían a esta en singular pues tenían la firme idea de que se debía abordar como un todo). En principio, ellos consideraron esencial establecer bases firmes y sólidas que fueran capaces de sostener las teorías que se estaban desarrollando entonces. Análogo a lo que ocurre con una construcción arquitectónica, para ellos era esencial tener una estructura capaz de explicar las relaciones existentes entre los elementos principales del tema de estudio. De hecho, uno de los textos del grupo se titula La arquitectura de las matemáticas. Esta idea de formalizar correctamente las teorías empleadas tiene sus antecedentes en trabajos previos de un personaje muy importante llamado David Hilbert, quien tenía la intención, mediante lo que ahora se conoce como el Proyecto de Hilbert, de formalizar axiomáticamente las ciencias matemáticas e incluso la física, algo que logró exitosamente con la geometría euclidiana. Esto llevó a la escuela Bourbaki a considerar a la teoría de conjuntos como la base para intentar unificar a las matemáticas y sentar las bases de lo que después recibiría el nombre de estructuralismo matemático.

Otro aspecto importante, y muy relacionado con el estudio de teorías abstractas, es que para Bourbaki un elemento esencial en el estudio de objetos matemáticos era el identificar y extraer las relaciones y propiedades esenciales en el objeto de estudio; esto es, dejando de lado el tipo de elementos que lo conforman, es importante conocer las reglas que satisfacen tales elementos y las propiedades que de ellas se obtienen. Lo anterior podría permitir realizar un estudio general de estructuras con características similares. Esta era la esencia de lo que ellos denominaban el núcleo básico del estructuralismo. Finalmente, consideraron que existen jerarquías entre estructuras y, como tal, era posible encontrar estructuras madre necesarias para estudiar el resto.

El trabajo que se desarrolló alrededor de la escuela Bourbaki tenía, por supuesto, una influencia importante del pensamiento de Weil. Además de haber sido uno de los principales responsables en la creación del grupo de trabajo, su participación en la formación de su filosofía de cómo hacer matemáticas fue sumamente relevante. Por ejemplo, se menciona en una de sus biografías que, siendo apenas un estudiante de 19 años, realizó una estancia académica en 1925 en Alemania, invitando así a varios de sus compañeros de escuela, y posteriores miembros de Bourbaki, a hacer lo propio años más tarde, logrando con ello empaparse del conocimiento matemático que se estudiaba en otras regiones de Europa y que no se conocía aún en Francia. Incluso, realizó una estancia académica en la India durante dos años después de concluir sus estudios, y conoció a Gandhi, con quien solía conversar y tomar el té regularmente. Un aspecto esencial que contribuyó para que Weil sea considerado uno de los más importantes matemáticos de la segunda mitad del siglo XX, fue su habilidad para resolver problemas de diversas ramas de las matemáticas, que en varias ocasiones involucraba otras áreas del conocimiento, además de que su interés fue más allá de las matemáticas. Sin duda, había elementos suficientes para poder colaborar con Lévi-Strauss.

La estructura de parentesco

Un aspecto importante en el trabajo de Lévi-Strauss consistió en investigar entre diversas culturas las reglas que regían el parentesco entre sus miembros. Concluyó que, entre las distintas manifestaciones de la cultura, el estudio de la estructura parental resultaba ser importante para entender mejor las raíces y características de un grupo o población. Para ello, estableció la noción de átomo elemental de parentesco, el cual, contiene tres relaciones fundamentales: la alianza, la afiliación y la consanguinidad; su idea era pensar a los sistemas de parentesco como sistemas de fonemas donde es posible encontrar una gramática, en la cual los términos adquieren significado a partir de relaciones correctas. Para él, un grupo o tribu se denomina elemental si cada uno de sus miembros tiene un único tipo de matrimonio asignado, además de que el proceso de selección del cónyuge es, en cierto sentido, automático. Por otro lado, una sociedad se podría denominar compleja si influyen más factores en la elección de una pareja. Ciertamente, es muy difícil que existan sociedades completamente simples pues en realidad hay diversas reglas permitidas en los grupos de individuos; también, no se puede hablar de grupos completamente complejos pues siempre hay reglas esenciales que establecen límites. Una forma natural para intentar entender a las comunidades complejas es primero hacerlo con las elementales, por lo cual se interesó por estudiar tribus que contemplaban una forma simple de decidir la forma de establecer matrimonios entre elementos de los diversos clanes que las conforman.

Los Murngin: un puente entre la etnología y la matemática.

La tribu de los Murngin es un pueblo aborigen australiano que fue estudiado por diversos antropólogos anteriores a Lévi-Strauss, entre los que se incluyen William Warner y el clérigo y antropólogo australiano Adolphus Peter Elkin. Los estudios de Warner sobre los Murngin mostraban una complejidad importante (de hecho, eso dio lugar a lo que se denominó el problema de Murngin) debido a que no era fácil entender por qué habían establecido entre ellos reglas de matrimonio no muy comunes en otros sistemas de organización. Incluso el padre Elkin, uno de los mayores expertos en el estudio de los aborígenes australianos, había asegurado que no era útil tratar de realizar un análisis formal de sus sistemas de parentesco, pues no podían explicarse más que por cuestiones tradicionales y no aportarían algo para entenderlos.

En general, muchas tribus distinguían entre los tíos paralelos, es decir hermanos del padre y hermanas de la madre, y los tíos cruzados, es decir hermanas del padre y hermanos de la madre; lo anterior porque era costumbre entre las sociedades primitivas asociar al hermano del padre con el padre y a la hermana de la madre con la madre, de forma que, el hijo del hermano del padre se asociaba con el hermano y el hijo de la hermana de la madre con la hermana. En este sentido, los primos paralelos correspondían a primos cuyos padres eran hermanos o cuyas madres eran hermanas, mientras que los primos cruzados a los primos cuyo padre era hermano de su madre o cuya madre era hermana de su padre. En general, el matrimonio entre primos paralelos no era permitido, debido a la asociación mencionada previamente, pero era común permitir el matrimonio entre primos cruzados. Sin embargo, la tribu de los Murngin únicamente lo permitía parcialmente: era permitido el matrimonio con la hija del hermano de la madre, pero se prohibía el matrimonio con la hija de la hermana del padre. Esta restricción no se presentaba en otro sistema conocido hasta entonces, lo cual hacía suponer que el sistema de esta tribu en realidad no tenía algún patrón. Esta explicación no podía ser muy acertada, pues ¿Cómo podría una regla precisa que hacía una distinción en esta relación de dicotomía existir en una sociedad sin normas de parentesco?

Después de analizar el problema anterior, Lévi-Strauss se convenció que tratar de aplicar un estudio asemejando al estructuralismo lingüístico para resolver el problema no era suficiente, además de que el análisis del comportamiento de las relaciones parentales requería un análisis matemático para su estudio. Fue entonces cuando decide acercarse al matemático francés Jacques Hadamard, profesor de Weil, para solicitar ayuda. El problema no fue del interés de Hadamard, quien externó explícitamente su indiferencia afirmando: “en matemáticas sólo hay cuatro operaciones, y el matrimonio no es una de ellas”. Ante tal negativa, Lévi-Strauss se dirigió a Weil, aprovechando que ambos coincidían en Nueva York para entonces. Para su fortuna, Weil asume una actitud distinta ante este problema y decide estudiarlo. Para ello, representó el problema mediante relaciones y operaciones algebraicas de cierto tipo de estructuras abstractas llamadas grupos. Empleando propiedades entre estas relaciones, logró obtener una representación de la estructura parental de la tribu Murngin.

El álgebra detrás de la tribu Murngin

En matemáticas, se estudian los grupos como estructuras consistentes de un conjunto de elementos junto con un par de operaciones algebraicas: una operación binaria * llamada operación de grupo y una operación unaria — que recibe el nombre de inverso, las cuales cumplen ciertas reglas o propiedades básicas. Un ejemplo simple de este tipo de estructuras es el conjunto Z de números enteros, junto con la operación usual de suma entre números y el inverso aditivo. La teoría de grupos en particular ha mostrado ser útil para estudiar problemas referentes a los ejes de simetría de ciertos objetos geométricos, presentes en dibujos y obras arquitectónicas, o la simetría molecular en átomos. Incluso, puede brindar un algoritmo capaz de resolver el famoso cubo de Rubik.

Un elemento esencial de la teoría de grupos, presente en la búsqueda de un modelo asociado al problema de Murngin, es que para estudiar sus propiedades no nos interesa tener clara la forma que tienen los elementos del conjunto, sino cómo se relacionan entre sí y el comportamiento que tienen las operaciones definidas entre ellos. Weil le explicó a Lévi-Strauss que había resuelto el problema omitiendo los elementos reales de la tribu, pero representándolos como elementos de una estructura. De forma más precisa, representó simbólicamente a los cuatro clanes de la tribu que lo conformaban y estudió cómo se relacionan entre ellos las reglas establecidas en la tribu con respecto al matrimonio, partiendo de las restricciones establecidas entre ellos, incluida la referente a los matrimonios entre primos cruzados. Weil descubrió con ello la existencia de una estructura oculta que explicaba el comportamiento de las relaciones parentales de los Murngin, de forma que lo que en principio parecían ser reglas de matrimonio sin mucha explicación se convirtieron en propiedades necesarias para obtener lo que en matemáticas se denomina un grupo conmutativo, capaz de brindar una explicación precisa del comportamiento de la tribu. Un elemento curioso es que esta idea de representar simbólicamente a los elementos de una tribu ya había sido previamente aplicada por Lévi-Strauss al estudiar a la tribu brasileña de los namwikara, quienes tenían prohibido el uso de nombres propios.

Por supuesto, Lévi-Strauss quedó muy fascinado con la solución planteada por Weil y le solicitó escribir un apéndice con resultados algebraicos para su libro las estructuras elementales del parentesco, publicado en 1949. Había sido posible obtener un modelo matemático capaz de resolver un problema que de principio parecía ser muy complicado y se dio origen con ello a una nueva área que ha permitido resolver, mediante el uso de modelos matemáticos, problemas asociados al estudio de sociedades: la antropología matemática.

Para concluir…

Podemos concluir mencionando que el estructuralismo, en sus diversas representaciones, dio paso a otras corrientes de pensamiento y surgieron pensadores, como Foucault y Derrida en filosofía o Chomsky en lingüística, quienes desarrollaron teorías modernas llamadas postestructuralistas. En matemáticas se presentó también este proceso de transformación. Alexandre Grothendieck, el más importante matemático de las últimas generaciones de Bourbaki, consideró necesario extender la idea de estructura a elementos más amplios y dinámicos y se retiró del grupo, con la intención de desarrollar sus propios proyectos. Aunado a lo anterior, las ciencias matemáticas se habían desarrollado considerablemente en los últimos años, lo cual hacía aún más difícil la búsqueda de una unificación de la matemática, además de que se suscitaron problemas legales con relación a los derechos de autor y publicaciones de los textos de Bourbaki en el extranjero. La escuela Bourbaki, así como lo establecía en sus reglas de permanencia, desapareció antes de cumplir los 50 años de vida. Por último, conviene reconocer la labor desarrollada por André Weil. Su inquietud científica y el deseo de influir en los alumnos universitarios de su época dieron origen a tan importante proyecto que trascendió fronteras y generaciones. Su destacada labor lo hizo acreedor de diversos reconocimientos y distinciones en vida; al momento de su muerte su biografía oficial incluyó un honor más, del cual sin duda se debe haber sentido muy orgulloso:

“Miembro de la Academia de Ciencias y Letras de Poldavia”

Referencias:

[1]Javier Fresán, Hasta que el álgebra os separe: la teoría de grupo y sus aplicaciones, EDITEC (2011).

[2] Claude Lévi-Strauss, Las estructuras elementales del parentesco (1949).

[3] James V Rauf, The algebra of marriage: an episode in applied group theory. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 31:3, 230–244 (2016).

Iván Martínez

Licenciado en Matemáticas por la BUAP. Obtuvo el grado de Doctor en Ciencias Matemáticas por la UNAM en agosto de 2010. Sus áreas de interés son Análisis Matemático, Teoría de Conjuntos y Lógica Matemática. Actualmente pertenece al Sistema Nacional de Investigadores con el grado de Nivel I y colabora en proyectos de Investigación relacionados con Análisis Matemático, Lógica Matemática y sus Aplicaciones.

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